As hipóteses euclidiana e arquimediana podem ser devidamente associadas às reencarnações? Responda a esta indagação aquele que for capaz.

O texto contido na obra Os Elementos, escrita por Euclides, foi a primeira discussão doutrinária sobre a geometria e o primeiro texto a falar sobre a teoria “a priori” dos números, tendo sido uma das obras mais influentes na História, tanto pelo seu método como pelo seu conteúdo matemático. O método consiste em assumir um pequeno conjunto de axiomas intuitivos, para que então se possa provar várias outras proposições, os teoremas, a partir desses axiomas. Embora muitos dos resultados afirmados por Euclides já houvessem sido afirmados por matemáticos gregos anteriores, ele foi o primeiro a demonstrar como essas proposições poderiam ser reunidas em um abrangente método dedutivo.

A teoria “a priori” desenvolvida através da obra de Euclides foi uma das mais importantes da Matemática, tendo sido adotada por muitos estudiosos como base para estudar a geometria. A partir do século XIX para o início do século XX, foi instituída a disciplina de Geometria Euclidiana seguindo a axiomática instituída por Euclides, que se distingue por apresentar um espaço que não se modifica em momento algum, revelando uma estrita simetria, assim como se uma relação for verdadeira para a e b, sendo considerada nessa ordem, também será para b e a, nesta ordem. Essa teoria “a priori” atravessou a Idade Média e o Renascimento como representação do conhecimento clássico, apesar de que a partir da Idade Moderna esse modelo euclidiano tenha sido substituído por outras geometrias.

A teoria “a posteriori” do “salto arquimediano” como um sistema de argumentação não dedutivo em Matemática, produz uma ruptura epistemológica no sentido de fornecer uma direção para a objetividade de certos fatos matemáticos, pondo em discussão o seu caráter qualitativo, ao ressaltar a sua função hermenêutica no pensamento matemático e a sua relação com o seu conhecimento estético, sendo exemplos de rupturas epistemológicas produzidas por um “salto arquimediano”, o seguinte: a) A propriedade da reta real, que estrutura a reta euclidiana através do sistema de números reais; a) O princípio da indução completa da teoria “a posteriori” dos números naturais, que modela a nossa intuição acerca dos processos recursivos; c) A passagem do infinito potencial para o infinito atual, que permite fornecer o conteúdo objetivo à teoria “a priori” dos conjuntos infinitos e das cardinalidades.

Devem ser levadas em conta as seguintes considerações:

1. Euclides trata do espaço, enquanto que Arquimedes trata do espaço em função do tempo;
2. Euclides trata da doutrina, enquanto que Arquimedes trata do sistema;
3. Euclides trata de teorias “a priori”, enquanto que Arquimedes trata de teorias “a posteriori”;
4. Euclides trata do método da dedução, enquanto que Arquimedes trata do método da indução;
5. Euclides é perceptivo, enquanto que Arquimedes é compreensivo;
6. Euclides trata de conhecimentos, enquanto que Arquimedes trata de experiências.